Wstęp.
Chcąc zacząć naukę matematyki ciężko wybrać początek. Jest to trudne dlatego, że masa pojęć w zasadzie prostych w pojęciu, jest czasami dosyć skomplikowana we wnętrzu. Chcąc jednak podejść do każdego z nich w pełni, trzeba mieć w zanadrzu inne pojęcia, które są niezbędne do zrozumienia zagadnienia pierwotnego. Pojawia się więc problem od czego zacząć. Ja pozwolę sobie zacząć od pojęcia zbioru. Założę, że wiemy czym są liczby, jednak w następnych artykułach rozwinięcia tego pojęcia nie pominę. Przejdźmy do konkretów.
Rzecz pierwsza. Definicja.
Czym tak na prawdę jest zbiór? To jest dobre pytanie. Prawdę mówiąc nie ma ścisłej na nie odpowiedzi, ponieważ jest to pojęcie pierwotne. Musimy więc wziąć je trochę na intuicję. Zbiór bowiem jest kolekcją elementów. Kolekcją, czyli jakimś abstrakcyjnym tworem, który przechowuje wewnątrz siebie elementy. Jakimś zbiorem. Można próbować sobie, tak z podstawówkowego języka, wyobrazić go sobie jako wór, pojemnik, cokolwiek co mieści w sobie jakąś zawartość. Najbardziej trafnym, według mnie, jest porównanie do kolekcji właśnie. Kolekcji czegoś, ale tak właściwie to czego? Tak właściwie, to czegokolwiek co nam przyjdzie do głowy. Zbiór może zawierać dowolne elementy. Mogą to być liczby, najczęściej są to liczby, kształty, punkty, wierzchołki grafu, ludzie, gwiazdy, planety i tak dalej, i tak dalej. Ogranicza nas tylko wyobraźnia. Przykładem tworu jakim jest zbiór, jest zbiór liczb porządkowych, lub naturalnych, lub całkowitych, które znamy z lat podstawówki.
Mając już pewne wyobrażenia tego czym jest zbiór, dalej będziemy używać już tylko tego pojęcia. Zbiór jest więc kolekcją elementów. Będziemy go oznaczać poprzez nawiasy wąsate, w których wymieniać będziemy jego elementy, np:
\(Q = \{1, 2, 3\}\)
Zdefiniowaliśmy sobie zbiór \(Q\), który ma \(3\) elementy \(1\), \(2\) i \(3\). Spróbujmy sobie teraz zdefiniować drugi zbiór, \(P\) w postaci:
\(P = \{3, 1, 2\}\)
Mamy więc \(2\) zbiory, które mają takie same elementy, lecz w różnej kolejności. Jednak w rozumieniu matematycznym zbiorów są one tymi samymi zbiorami mimo tego, że mają inną nazwę, a nawet inną kolejność elementów.
Dokładnie tak. Są dokładnie takie same. Dlaczego?
Ponieważ w rozumieniu matematycznym zbioru ważne są elementy zbioru. Nie jest ważna ich kolejność w zapisie, ani w ogóle kolejność jakakolwiek. Dlaczego?
Ponieważ nie ma w zbiorze czegoś takiego jak kolejność. Te elementy po prostu tam są. Można to trochę przyrównać do owego wora elementów, o którym wspomniałem wcześniej. Wrzucimy tam elementy, w losowej zupełnie kolejności, wór wytrzęsiemy naście razy, i teraz jaka kolejność panuje w worku? No żadna. Nie ma kolejności. Jest to w pewnym stopniu istota identyfikacji zbioru, ponieważ zbiór, jest jednoznacznie identyfikowany poprzez właśnie jego elementy. Znaczy to tyle, że zbiory możemy rozpoznawać po tym jakie mają elementy, dokładnie tak jak w poprzednim przykładzie ze zbiorem \(P\) i \(Q\). Mimo różnych nazw, jest to dokładnie ten sam zbiór. Można więc wysnuć tym samym wniosek, że istnieje dokładnie jedna instancja zbioru zawierająca określony zestaw elementów, bo mimo tego, że powiemy, czy rozpiszemy je sobie inaczej, zbiór należy rozpoznać po jego zawartości, więc nawet jeżeli ze zbioru \(Q\) wyliczymy wszystkie kombinacje kolejności, nadal mamy tylko jeden zbiór. Regułą, która definiuje to dokładnie jest aksjomat ekstensjonalności, lub zasada ekstensjonalności. Ciekawi mogą zerknąć, jednak jest to trochę zbyt zaawansowana rzecz na teraz.
Kolejną właściwością o której trzeba wspomnieć jest przynależność elementu do zbioru. Otóż w zbiorze element może być, albo może go nie być. Brzmi trochę Shakespearowsko, ale dokładnie tak to trzeba rozumieć. Znaczy to tyle, że jeżeli mamy jakiś element np. liczbę \(1\), to może ona być w zbiorze, albo może jej tam nie być. Nie może trochę być, albo być \(2\) razy. Jest albo nie ma (Co ciekawe, istnieją zbioropodobne twory, które kpią z tej zasady. Np. multizbiory, ale jest to temat na osobny artykuł.).
Mamy więc kolejną właściwość. Każdy element występuje tylko raz.
Skoro mamy więc elementy w zbiorze, które jednoznacznie go identyfikują i występują tylko raz, jest zapewne tych elementów ileś.
Trochę tak, trochę nie. Ale zacznijmy od tak.
Ilość elementów z zbiorze nazywamy jego mocą. Moc zbioru oznaczamy poprzez dwie pionowe kreski po bokach nazwy zbioru, czyli \(|A|\), można również użyć "hasha" bądź kratki przed nazwą zbioru, czyli \(\#A\). Bardziej zaawansowanym pojęciem opisującym liczność zbioru, jest pojęcie liczby kardynalnej, ale samemu temu pojęciu trzeba by poświecić osobny artykuł, toteż teraz nie ruszamy tego tematu. Z mocą zbioru wiążą się ciekawe rzeczy, np. fakt, że zbiór liczb naturalnych jest jest równoliczny ze zbiorem liczb parzystych. Poświęcimy temu osobny artykuł, po wprowadzeniu pojęcia funkcji.
Skoro wiemy czym jest zbiór i czym jest jego moc, trzeba powiedzieć o pewnym szczególnym przypadku zbioru. Zbioru, który nie ma elementów a jego moc wynosi \(0\). Jest to tzw. zbiór pusty. Oznaczamy go poprzez \(\emptyset\). Np. jeżeli chcemy powiedzieć, że zbiór \(A\) nie ma elementów, czyli jest zbiorem pustym, możemy napisać, że \(A = \emptyset\), bądź \(A = \{\}\).
Dodatkowo skoro wiemy, że elementem zbioru może być cokolwiek, czy może być nim też zbiór? Ależ oczywiście! Zbiór, którego elementami są tylko zbiory, nazywamy rodziną zbiorów.
Rzecz druga. Działania na zbiorach.
Zbiory jak i inne twory matematyczne można poddawać jakimś działaniom. Te które musimy teraz poznać są bardzo podstawowe. Każde z nich opiszemy dodatkowo obrazkiem, diagramem Venna, który uprości nam zrozumienie zagadnienia. Na diagramach będziemy działaniom poddawać dwa zbiory, \(A\) i \(B\), a oto one:
Zacznijmy więc od dodawania, które w ujęciu zbiorów (czy też w pojęciu teorio-mnogościowym) nazywamy sumą.
Suma zbiorów.
Otóż sumą zbiorów nazywamy operację, w którym bierzemy elementy z jednego zbioru i dokładamy do drugiego, z zachowaniem właściwości, że jeden element występuje raz. Taką operację oznaczamy symbolem \(\cup\).
Przykład.
Zdefiniujmy sobie zbiór \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) oraz zbiór \(B = \{3, 4, 5, 6\}\). Sumą tych zbiorów będzie:
\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
Mówiąc jeszcze inaczej, bierzemy wszystkie elementy zbioru \(A\), dodajemy je do zbioru wynikowego, następnie bierzemy wszystkie elementy zbioru \(B\), których nie ma w zbiorze \(A\) i dodajemy je do zbioru wynikowego.
Diagram Venna dla tej operacji wygląda tak:
Przyjrzywszy się bliżej temu czym jest suma zbiorów, można wywnioskować, że ma ona podobne właściwości do dodawania, a mianowicie, jest przemienna. Znaczy to mniej więcej tyle, że nie ma znaczenia czy dodamy \(A\) do \(B\), czy \(B\) do \(A\), to wynik będzie taki sam. Możemy to napisać w taki sposób:
\(A \cup B = B \cup A\)
Mało tego, że jest przemienna, jest również łączna. Tj:
\(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\)
Czyli nie ma znaczenia, czy najpierw dodajemy \(B\) i \(C\), a potem \(A\), czy najpierw \(A\) i \(B\), a później do tej sumy \(C\).
Obie te własności działają dla sumowania \(n\) zbiorów.
[Zaawansowany offtop]
Powiedział że działa dla \(n\). Ale jak działa? Ano tak:
Jeżeli mamy sumę zbiorów w postaci \(A \cup B\), można uznać zbiory \(A\) i \(B\) za dowolne zbiory. Teraz możemy więc uznać, że zbiór \(B\) jest wynikiem sumy innych zbiorów np. \(C\) i \(D\), (bo w sumie czemu nie, po prostu podzielmy ten zbiór \(B\) na pół i mamy \(C\) i \(D\), a nawet jak \(B\) będzie pusty to \(C\) i \(D\) też będą puste, bo czemu nie), czyli \(A \cup B = A \cup (C \cup D)\). Teraz dokładnie tak jak poprzednio możemy uznać że zbiór \(D\) jest wytworem sumy zbiorów \(E\) i \(F\), i napisać \(A \cup B = A \cup (C \cup (E \cup F))\) i można tak w nieskończoność. Skoro więc teraz dowolnie można zamienić kolejność każdej z par i dowolny zbiór przedstawić w postaci sumy dwóch innych, można powiedzieć, że suma zbiorów jest przemienna i łączna dla dodawania \(n\) zbiorów.
Więc dodajemy na spokojnie, nie zważając na kolejność i ilość zbiorów.
Iloczyn/przecięcie/przekrój/część wspólna zbiorów.
Iloczynem/przecięciem/przekrojem/częścią wspólna zbiorów nazywamy operację, w której weźmiemy elementy wspólne zbiorów do zbioru wynikowego. Oznaczamy ją poprzez \(\cap\). Np. weźmy sobie poprzednio zdefiniowane zbiory \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) i \(B = \{3, 4, 5, 6\}\). Iloczynem tych zbiorów będzie:
\(A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{3, 4, 5, 6\} = \{3, 4\}\)
Mówiąc jeszcze inaczej, bierzemy kolejno elementy ze zbioru \(A\), sprawdzamy czy istnieją w zbiorze \(B\), i jeżeli istnieją, dodajemy je do zbioru wynikowego. Diagram Venna dla tej operacji wygląda tak:
Tak jak w przypadku dodawania, mamy tutaj przemienność, czyli:
\(A \cap B = B \cap A\)
Oraz łączność:
\(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\)
I dokładnie jak w przypadku dodawania, można to przeskalować do \(n\) elementów. Uzasadnienie również jest takie same.
Różnica zbiorów.
Różnicą zbiorów nazywamy operację, w której usuwamy ze zbioru pierwotnego, elementy, które występują w zbiorze, z którym ową operację przeprowadzamy. Operację tę oznaczamy przez \(/\). Np. weźmy znów zbiory z poprzednich przykładów \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) i \(B = \{3, 4, 5, 6\}\). Różnicą tych zbiorów będzie:
\(A \setminus B = \{1, 2, 3, 4\} \setminus \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2\}\)
Mówiąc prościej, bierzemy zbiór \(A\) i wyrzucamy z niego elementy, które występują w zbiorze \(B\). Diagram Venna dla tej operacji wygląda następująco:
Różnica zbiorów, już nie jest przemienna, podobnie jak odejmowanie, nie jest też łączna.
Różnica symetryczna zbiorów.
Różnicą symetryczną nazywamy różnicę sumy zbiorów z ich iloczynem. Oznaczamy ją symbolem \(\dot{-}\) lub \(\triangle\), lub \(\oplus\). Najczęściej spotkamy się jednak z dwoma pierwszymi. Można by ją zapisać w ten sposób:
\(A\space \dot{-}\space B = A \space \triangle \space B = A\oplus B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\)
Spróbujmy z przykładem. Weźmy nasze już znajome \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) i \(B = \{3, 4, 5, 6\}\). Ich różnica symetryczna wyniesie:
\(A\oplus B = \{1, 2, 3, 4\} \oplus \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2, 5, 6\}\)
Rozpiszmy ją sobie teraz jako różnica sumy i iloczynu:
\(A\oplus B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (\{1, 2, 3, 4\} \cup\{3, 4, 5, 6\}) \setminus (\{1, 2, 3, 4\} \cap\{3, 4, 5, 6\}) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{3, 4\} = \{1, 2, 5, 6\}\)
Mówiąc jeszcze prościej, sumujemy oba zbiory i wyrzucamy z wynikowego ich część wspólną. Diagram Venna dla tej operacji wygląda następująco:
Operacja ta, mimo iż używa różnicy, jest tak naprawdę różnicą operacji przemiennych i łącznych. Z tego też faktu, możemy stwierdzić że jest operacją zarówno łączną jak i przemienną.
[Zaawansowany offtop]
Dlaczego przemienna i łączna? Spójrzmy na to w ten sposób, najpierw przemienność:
\(A\oplus B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (B \cup A) \setminus (B \cap A) = B\oplus A\)
W przypadku łączności należy odnieść się do pojęcia algebry Boola i ogólnie logiki, której jeszcze nie znamy, dlatego zostawię to na później. Na teraz do dowodu odsyłam do "Teorii mnogości" Aleksandra Błaszczyka i Sławomira Turka.
Dopełnienie zbioru.
Dopełnieniem zbioru nazwiemy wszystko, co leży poza zbiorem. Znaczy to mniej więcej tyle, że jeżeli zbiór \(A\) znajduje się wewnątrz jakiegoś innego zbioru \(B\), to dopełnieniem zbioru nazwiemy różnicę zbioru \(B\) i \(A\). W teorii zbiorów mówi się o uniwersum otaczającym zbiór, oznacza to mniej więcej tyle, że bierzemy dowolne coś, np. przestrzeń, zbiór, itd. co otacza zbiór/jest nad zbiorem. Oznaczamy je literą \(c\) jakoby w potędze symbolu zbioru, czyli:
\(\displaystyle A^c\)
Diagram Venna dla dopełnienia wygląda następująco:
Rzecz trzecia. Zawieranie.
Powiedzieliśmy sobie wcześniej, że zbiór składa się z elementów. Mają więc zbiór \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), jak powiedzieć, że \(1\) znajduje się w \(A\)? Otóż tak po prostu. Zapisać jednak trzeba to w sposób formalny. Więc jeżeli zapisać chcemy fakt, że jakiś element \(x\) zawiera się w zbiorze, bądź jest elementem zbioru, napiszemy:
\(x \in A\)
Idąc za przykładem, chcąc zapisać, że \(1\) jest elementem zbioru \(A\), napiszemy:
\(1 \in A\)
Wiemy więc już jak zapisywać, że pojedyncze elementy znajdują się w zbiorze. Idąc dalej jak zapisać, że nie znajduje się w zbiorze? Otóż wystarczy znak zawierania się, przekreślić. A więc, jeżeli zapisać chcemy fakt, że jakiś element \(x\) nie zawiera się w zbiorze, bądź nie jest elementem zbioru, napiszemy:
\(x \notin A\)
Idąc za przykładem, chcąc zapisać, że \(5\) nie jest elementem zbioru \(A\), napiszemy:
\(5 \notin A\)
Cudownie. Wiemy jak określać przynależność do zbiorów pojedynczych elementów. Jednak pójdźmy trochę dalej. Skoro możemy określać przynależność do zbiorów pojedynczych elementów, to czy można określić przynależność większej liczby elementów? Ależ oczywiście! Jednak tę większą grupę elementów trzeba sobie nazwać.
Podzbiory.
Wróćmy do naszego przykładowego zbioru \(A = \{1, 2, 3, 4\}\). Skoro możemy napisać, że \(1 \in A\), oraz np. że \(2 \in A\), to czy możemy zapisać, że para tych elementów też należy do tego zbioru? Tak. Ale już nie możemy użyć symbolu \(\in\), dlatego że jako będziemy mówić o parze, a para to nic innego jak 2-elementowy zbiór, musimy użyć oznaczeń dla zbiorów. Gdy chcemy powiedzieć, że jakiś zbiór \(A\) zawiera się w zbiorze \(B\), piszemy:
\(A \subseteq B\)
Teraz, skoro zbiór \(A\) zawiera się w zbiorze \(B\), to mówimy o tym, że \(A\) jest pewną częścią zbioru \(B\). Tę pewną część zbioru nazywamy podzbiorem. Podzbiór, na diagramie, Venna będzie wyglądał następująco:
Teraz skoro relacja zawierania (Czym ściśle jest relacja, powiemy sobie kiedy indziej. Teraz po cichu załóżmy, że relacja to jest pewien związek.) definiuje nam podzbiór, tj. jeżeli podzbiór definiujemy jako pewną część innego zbioru, to jesteśmy w stanie określić, jaka ta część zawiera się w zbiorze.
Nic nie stoi więc na przeszkodzie by powiedzieć, że zbiór \(A\) zawiera się sam w sobie, czyli \(A \subseteq A\). Jest to zgodne z definicją podzbioru, jakaś część \(A\), cała część, bo nikt nie powiedział, że ta część ma być mniejsza, większa, czy inna, zawiera się w zbiorze \(A\).
A więc. Podzbiorem nazywamy zbiór \(A\), zawierający się w zbiorze \(B\). Teraz, jeżeli \(A\) jest podzbiorem \(B\) i jednocześnie \(A \neq B\), czyli \(A\) jest podzbiorem \(B\) i zbiory \(A\) i \(B\) nie są sobie równe, to podzbiór taki nazywamy podzbiorem właściwym. Taki podzbiór można explicite oznaczyć:
\(A \subsetneq B\) lub \(A \subset B\)
Idąc dalej wszystkie podzbiory, które nie są właściwe, są niewłaściwe, czyli np. zbiór sam w sobie jest podzbiorem niewłaściwym samego siebie.
Idąc jeszce dalej możemy powiedzieć, że zbiór \(A\) nie zawiera się w zbiorze \(B\) i zapisać to w ten sposób:
\(A \nsubseteq B\) lub \(A \not\subset B\)
Relację tę można odwrócić i powiedzieć, że w \(B\) zawiera się \(A\) i napisać:
\(B \supseteq A\)
Powiemy tym samym, że \(B\) jest nadzbiorem \(A\). Diagram Venna dla tej relacji będzie dokładnie taki sam jak dla podzbioru, bo jest to po prostu odwrócenie relacji.
Dokładnie jak w przypadku podzbiorów, mówimy o nadzbiorach właściwych i niewłaściwych. Właściwych w przypadku gdy \(B \supseteq A\) oraz \(B \neq A\) i niewłaściwych gdy jest inaczej. Gdy \(B\) jest nadzbiorem właściwym \(A\) można taki zbiór explicite oznaczyć:
\(B \supsetneq A\) lub \(B \supset A\)
Idąc dalej można powiedzieć o tym czy \(B\) nie jest nadzbiorem \(A\) i zapisać to w ten sposób:
\(B \nsupseteq A\) lub \(B \not\supset A\)
Dokładnie tak samo, jak w przypadku podzbioru, nic nie stoi na przeszkodzie, żeby powiedzieć, że każdy zbiór jest swoim własnym nadzbiorem, czyli, \(B \supseteq B\), bo skoro nadzbiór zdefiniowaliśmy jako zbiór zawierający jakiś inny zbiór, to możemy powiedzieć że w \(B\) zawiera się \(B\), co jest prawdą.
Ciekawa rzecz dzieje się jednak, gdy wracamy do zbioru pustego. Okazuje się bowiem, że jest on podzbiorem każdego zbioru. Jest to trochę filozoficzna własność, nie mniej ważna. Można to uzasadnić w ten sposób, że wyznaczając kolejne podzbiory, czy też kombinacje elementów nadzbioru, można wyróżnić kombinację zawierającą nic. I to jest też istotą tej zasady. Może się wydawać to trochę niejasne, ale jakby się tak trochę dłużej nad tym pogłowić zauważymy, że w końcu dojdziemy do myśli, że z każdego zbioru jesteśmy w stanie "wykroić" nic. Albo wyznaczyć część, która jest pusta. Ta pusta część to właśnie zbiór pusty. Idąc z tą wiedzą dalej, skoro zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru, to znaczy wprost, że każdy zbiór jest nadzbiorem zbioru pustego.
Wiedząc o podzbiorach i nadzbiorach, możemy zauważyć, że relacja zawierania implikuje pewną właściwość, a mianowicie. Jeżeli zbiór \(A\) zawiera się w \(B\), a zbiór \(B\) zawiera się w \(C\), to znaczy że zbiór \(A\) zawiera się \(C\), co można zapisać:
\(\text{Jeżeli } A \subseteq B \text{ a } B \subseteq C \text{ to } A \subseteq C\)
Mówimy wtedy, że relacja zawierania jest przechodnia. Można zrobić dokładnie to samo, przekładając to na nadzbiory, a dokładniej mówiąc:
\(\text{Jeżeli } B \supseteq A \text{ a } C \supseteq B \text{ to } C \supseteq A\)
Podrodzina
Podrodzina to nic innego jak podzbiór rodziny zbiorów. Wszystkie relacje i operacje, które wymieniliśmy powyżej tyczą się również podrodzin. Dodatkowo, skoro nadrodzina byłaby ekwiwalentem podzbioru, tak nadrodzina będzie ekwiwalentem nadzbioru. Jest to dokładnie tak proste, jak się wydaje że jest.
Rzecz czwarta. Rodziny zbiorów.
Wspomnieliśmy sobie wcześniej o pojęciu rodziny zbiorów. Przyjrzyjmy się temu tematowi nieco bliżej.
Definicja.
Przypomnijmy, że rodziną zbiorów nazywamy zbiór zbiorów. Czyli, jeżeli np. mamy zbiór \(A\), który zawiera inne zbiory, np: \(B = \{1, 2, 3\}\) i \(C = \{3, 4, 5\}\), czyli:
\(A = \{B, C\} = \{\{1, 2, 3\},\{3, 4, 5\}\}\)
To \(A\) będzie rodziną zbiorów.
Idąc za analogią do zwykłych zbiorów, określmy jak wygląda podzbiór w tym przypadku. Powiedzieliśmy wcześniej o podrodzinie i dokładnie tak owy podzbiór "zbiorowy" będzie się nazywał, a starając się pokazać przykład, zredefiniujmy nieco poprzednie zbiory.
Weźmy sobie rodzinę zbiorów \(A = \{B, C\}\). Teraz zdefiniujmy sobie \(B\) jako \(B = \{\{1, 2, 3\},\{4, 5, 6\}\}\) i \(C = \{1, 2, 3\}\). Mamy więc:
\(A = \{B, C\} = \{ \{\{1, 2, 3\},\{4, 5, 6\}\}, \{1, 2, 3\}\}\)
W tym przypadku możemy powiedzieć, że \(B\) jest podrodziną \(A\), ponieważ samo w sobie jest rodziną i znajduje się wewnątrz innej rodziny. Proste.
Operacje.
Dla rodziny, jako że jest zbiorem zbiorów, możemy zbudować operacje sumy i iloczynu. Sprowadzi się to do tego, że po prostu każdy zbiór w rodzinie będziemy sumować ze sobą, bądź każdy zbiór w rodzinie, będziemy ze sobą mnożyć/przecinać. Jednak te operacje charakteryzują się innym zapisem. Otóż.
Sumę rodziny zbiorów opiszemy jako:
\(\bigcup{A}\)
Czyli, jeżeli \(A\) zdefiniujemy jako rodzinę \(A = \{B, C\}\), gdzie \(B\) i \(C\) będą zbiorami, to sumę tej rodziny zdefiniujemy jako:
\(\bigcup{A} = \bigcup{\{B, C\}} = B\cup C\)
Iloczyn zaś opisujemy jako:
\(\bigcap{A}\)
Czyli, jeżeli \(A\) zdefiniujemy jako rodzinę \(A = \{B, C\}\), gdzie \(B\) i \(C\) będą zbiorami, to iloczyn tej rodziny zdefiniujemy jako:
\(\bigcap{A} = \bigcap{\{B, C\}} = B\cap C\)
Widzimy więc, że niemal jeden do jeden odwzorowuje się to na zwykłe zbiory.
Rzecz piąta. Zbiory ze względu na rozmiar.
Wiemy czym są podzbiory, nadzbiory, rodziny, moc zbioru i czym jest sam zbiór. Na razie nie dzieliliśmy ich jeszcze na żadne kategorie, jednak wspomniałem już o pojęciu pary albo zbioru 2-elementowego. Otóż okazuje się dosyć naturalnym krokiem naprzód, aby podzielić sobie zbiory ze względu na rozmiar, bo czemu nie?
Zbiory skończone i nieskończone.
Pierwszą ważną rzeczą o której należy powiedzieć, jest to, że istnieją w matematyce zbiory skończone i nieskończone. Przykładem zbioru skończonego, będzie zbiór samochodów jeżdżących po Polsce, a przykładem nieskończonego będzie zbiór liczb naturalnych. Zbiór jest skończony, kiedy jego moc jest skończona, a nieskończony, kiedy jego moc wynosi nieskończoność. Na teraz temat nieskończoności i zbiorów nieskończonych zostawimy sobie na później, teraz skupimy się na zbiorach skończonych.
Zbiory skończone.
Zbiorem skończonym nazywamy zbiór, którego moc jest skończona. Znaczy to tyle, że jeżeli jesteśmy w stanie podać konkretną liczbę elementów zbioru, czy też konkretnie określić jaka jest moc zbioru, zbiór klasyfikujemy jako skończony. Jest to dosyć intuicyjne i proste. Mając więc zbiory skończone i znając ich konkretne moce, można je pogrupować na zbiory o konkretnej liczbie elementów.
N-tki/krotki.
Najbardziej ogólną próbą porządkowania zbiorów pod względem tego jaki mają rozmiar, są n-tki. Cóż to są n-tki? Otóż, jeżeli mamy zbiór jednoelementowy, będzie to zbiór jednoelementowy, albo jedynka, jeżeli będziemy mieli zbiór dwuelementowy, będzie to zbiór dwuelementowy, albo dwójka/para, jeżeli będziemy mieli zbiór trzyelementowy, będzie to zbiór trzyelementowy, albo trójka, później czwórka, piątka, szóstka itd. itd. Uogólnieniem tych 'tek, będzie właśnie n-tka, czyli zbiór o mocy n. Więc zbiór jednoelementowy to będzie 1-ka, dwuelementowy 2-ka, później kolejno 3-ka, 4-ka, 5-tka, 6-tka itd. itd. O n-tkach mówi się dosyć często krotki i my też tego pojęcia będziemy używać, toteż warto sobie je zapamiętać. Jeżeli mówimy o n-tkach, które formują zbiory, musimy pamiętać, że nie mają one kolejności. Toteż n-tki, które formują zbiory, nazwiemy n-tkami/krotkami nieuporządkowanymi. Idąc za przykładem, powiemy o parach nieuporządkowanych, trójkach nieuporządkowanych, czwórkach nieuporządkowanych itd.
Rzecz szósta. Zbiory potęgowe.
Brzmi mądrze, jednak chodzi o jedną bardzo prostą rzecz. Skoro wiemy czym jest zbiór, wiemy czym jest podzbiór, to trzeba sobie odpowiedzieć na pytanie, jak dużo podzbiorów jesteśmy w stanie wyszczególnić ze zbioru.
Rozwiązanie tego problemu, jest proste w tak cudowny sposób, że sami zaraz będziecie zdziwieni równie mocno jak ja byłem. Otóż.
Weźmy sobie zbiór. Jakikolwiek, którego elementy oznaczymy sobie dla ułatwienia liczbami i będzie on długości \(n\), czyli:
\(A = \{1, 2, 3, 4, \space...\space, n\}\)
Teraz przypomnijmy sobie czym jest podzbiór. Jest to zbiór elementów, który wyciągamy z jakiegoś zbioru. Może być tak, że wyciągamy część, a może być tak, że wyciągniemy wszystkie. Procesem wyciągania, właśnie sprawimy, że wzór pojawi się nam w głowach za moment.
Skoro mamy zbiór \(A\) i on ma \(n\) elementów, to podzbiór może mieć \(n\) elementów, bądź mniej, więc skoro może mieć \(n\) bądź mniej, to to mniej może oznaczać, że usuniemy sobie jakiś element. Np. pierwszy.
\(A = \{␣, 2, 3, 4, \space...\space, n\}\)
Mamy jeden podzbiór. Ok, ale czy możemy wyrzucić też drugi? No tak. Wyrzućmy drugi.
\(A = \{␣, ␣, 3, 4, \space...\space, n\}\)
Mamy drugi podzbiór. Ok, ale czy możemy wyrzucić drugi, ale zostawić pierwszy? No tak. Wyrzućmy drugi, zostawmy pierwszy.
\(A = \{1, ␣, 3, 4, \space...\space, n\}\)
Mamy trzeci podzbiór. Teraz trzeba zadać sobie pytanie, do czego to nas prowadzi.
Otóż prowadzi nas do tego, że idąc od pierwszego elementu zbioru, do ostatniego po kolei, nad każdym elementem możemy podjąć decyzję, czy owy element usunąć, czy może go zostawić. Po kolei więc.
Zastanawiając się nad pierwszym elementem, mamy dwie możliwości, wywalamy, albo zostawiamy.
Idąc do drugiego elementu, znów mamy dwie możliwości, wywalamy, albo zostawiamy. Będąc jednak już na drugim elemencie, pamiętamy, że to jaki zbiór powstanie teraz, zależy od decyzji jaką podjęliśmy wcześniej. Skoro więc przy pierwszym elemencie mieliśmy \(2\) możliwości, i teraz znów mamy \(2\) możliwości, to ostatecznie powstają nam \(4\) możliwości ostatecznego podzbioru.
Idąc do trzeciego elementu znów mamy \(2\) możliwości, ale znów zależne od poprzednich, więc mamy już możliwości \(8\).
I tak dalej, aż do \(n\)-tego elementu idąc, mnożymy ilość możliwości przez \(2\) z każdym kolejnym elementem, przez co powstaje nam wzór:
\(2^n = 2^{|A|}\)
Można ten sposób porównać do tego, jak działają liczby.
Tak, liczby.
Bo weźmy np. liczbę \(3\) cyfrową. Ile liczb można zapisać liczbą \(3\) cyfrową? \(1000\). Na pierwszej pozycji możemy mieć \(10\) możliwości, na drugiej kolejne \(10\), i na trzeciej kolejne \(10\). W zależności od tego jaką cyfrę zapiszemy wcześniej, nasza liczba będzie inna.
Ale w przypadku tego zapisu mamy 10 możliwości wyboru. Ale...
Jeżeli zapiszemy liczbę dwójkowo, perspektywa zmienia się nieco. Bo ile kombinacji ma liczba 3 cyfrowa, dwójkowo? No \(2^3\). Na pierwszym bicie podejmujemy decyzję czy wstawiamy jeden, czy zostawiamy zero, na drugim znów podejmujemy decyzję czy wstawiamy jeden, czy zostawiamy zero i na trzecim znów to samo. Możemy zapisać więc \(8\) liczb, \(8\) kombinacji, \(8\) wybieranych podzbiorów.
Można do tego wzoru dojść oczywiście w inny sposób, ten według mnie, jest najprostszy jaki dotąd udało mi się znaleźć. Inne staram się zebrać tutaj.
Mamy więc wzór na liczebność wszystkich możliwych podzbiorów zbioru, jednak tytuł tego podrozdziału mówi o tworze zwanym zbiorem potęgowym. Otóż, zbiorem potęgowym nazwiemy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru. Oznaczymy go taką "upiększoną" literą P, a mianowicie:
\(\displaystyle \mathcal{P}(A)\)
Jest to tak proste, jak się wydaje, że jest.
Rzecz siódma. N-tki uporządkowane.
Wspomnieliśmy wcześniej, że mamy pary, trójki, czwórki i n-tki nieuporządkowane. Istnieje jednak ich pedantyczny odpowiednik, który owy porządek zawiera. Czym jest porządek powiemy sobie ściśle później, na razie przyjmijmy go intuicyjnie. Jeden element nie może mieć porządku, ale dwa elementy już mogą. Zacznijmy więc od par.
Para uporządkowana.
Istnieje w teorii zbiorów pojęcie pary uporządkowanej, które daje nam możliwość definiowania w ogólności n-tek uporządkowanych. Dlaczego para i dlaczego uporządkowana? Zobaczmy.
Zacznijmy od oznaczenia. Parę uporządkowaną będziemy okalać nawiasami okrągłymi, a jej elementy oznaczać dowolnymi literami alfabetu, np:
\((x, y)\)
Przypominać to może oznaczenie ciągu, co nabierze trochę sensu za moment. Teraz, co to tak na prawdę oznacza? Otóż. Definicji było wiele, żeby udało się doprowadzić do spójności w dalszych rozważaniach teorio-mnogościowych, ale najbardziej popularną i dokładną, jest definicja naszego rodaka Polaka, Kazimierza Kuratowskiego, a brzmi ona następująco:
\((x, y) = \{\{x\}, \{x, y\}\}\)
Z czego zbiór jednoelementowy \(\{x\}\) nazwiemy poprzednikiem, a dwuelementowy \(\{x, y\}\) następnikiem. Stąd uporządkowanie. Dostaliśmy narzędzie, żeby powiedzieć, że jakiś element jest pierwszy, a inny drugi. Oczywiście, ta możliwość będzie istniała, dopóki dopóty elementy \(x\) i \(y\) będą od siebie różne. Zastanówmy się dlaczego.
Na początku załóżmy, że są różne. W ten sposób możemy chociażby odróżnić poprzednik od następnika przez ilość elementów, czy też moc. Mamy więc jakiś element rozróżnienia. Brak tego elementu przychodzi w momencie, gdy poprzednik i następnik są takie same. Będą takie same, wtedy i tylko wtedy kiedy \(x\) i \(y\) będą równe sobie, bo wtedy \(\{x\}\) zostanie taki sam jak był, \(\{x, y\}\) zamieni się w \(\{x, x\}\), bo zakładamy że \(x = y\) więc możemy bez problemu ten \(y\) z \(x\)'em zamienić, a pamiętając, że zbiór posiada elementy tylko od siebie różne, to nagle dostrzegamy że \(\{x, x\}\) to w istocie \(\{x\}\), a więc końcowo mamy \(\{\{x\}, \{x\}\}\) więc nie możemy już jednoznacznie stwierdzić, który jest pierwszy, a który drugi, bo nie jesteśmy w stanie rozróżnić elementów, mało tego, mamy tu dwa identyczne zbiory, więc \(\{\{x\}, \{x\}\}\) przemienia nam się w \(\{\{x\}\}\). Trzeba jednak dopowiedzieć, że żeby para uporządkowana była parą uporządkowaną, elementy nie muszą się od siebie różnić. Pary typu \((x,x)\) lub \((y, y)\) nadal są parami uporządkowanymi, nie mniej pozbawione są elementu kolejności.
Można dostrzec tak sobie rozpisując te elementy, dlaczego kolejność, mimo tych samych elementów, wpływa tutaj na rozróżnianie dwóch par uporządkowanych. Spróbujmy na przykładzie. Weźmy sobie dwie pary uporządkowane \((x, y)\) oraz \((y, x)\). Kolejno rozpiszmy je sobie z definicji.
\((x, y) = \{ \{x\}, \{x, y\}\}\)
\((y, x) = \{ \{y\}, \{y, x\}\}\)
Widzimy tu, że pośród tych 4 zbiorów, dwa są sobie równe, a są to \(\{x, y\}\) oraz \(\{y, x\}\). Jednak do pełnej równości brakuje nam równości między \(\{x\}\) i \(\{y\}\). Widzimy więc jak udało nam się tutaj skonstruować kolejność i rozróżnienie ze względu na nią.
Dodatkowo dostrzegamy, że dwie pary uporządkowane będą sobie równe, tylko i tylko wtedy, gdy \(x\) i \(y\) będą sobie równe i w żadnym innym przypadku. Rozpisanie sobie tego wniosku pozostawiam czytelnikowi. (W razie kłopotów, proszę do mnie napisać, z chęcią wyjaśnię wszelkie wątpliwości)
N-tka uporządkowana.
Mając ładnie zdefiniowaną parę uporządkowaną, możemy w prosty sposób przeskalować ją wyżej, do trzeciego, czwartego, i w końcu n-tego poziomu. W jaki sposób? Ano taki. Weźmy sobie parę uporządkowaną \((a, b)\), która z definicji będzie wyglądać tak:
\((a, b) = \{ \{a\}, \{a, b\}\}\)
Teraz zamiast \(b\), podstawmy sobie parę uporządkowaną \((c, d)\), bo czemu nie, i dostaniemy:
\((a, (c, d)) = \{\{a\}, \{\{c\}, \{c, d\}\}\}\)
Zapis takiego \((a, (c, d))\) upraszczamy sobie do \((a, c, d)\). I tak oto powstała trójka uporządkowana. Czy można to w ten sam sposób rozszerzyć do czwórki? Ależ owszem, czemu nie. Zastąpimy \(d\) parą uporządkowaną \((e, f)\) i dostaniemy:
\((a, c, (e, f)) = (a, (c, (e, f))) = \{\{a\}, \{\{c\}, \{c, \{e, \{e, f\}\}\}\}\}\)
Zapis znów upraszczamy, wycinając nawiasy, więc dostaniemy:
\((a, (c, (e, f))) = (a, c, e,f)\)
I mamy czwórkę uporządkowaną. Tak rozszerzając kolejne krotki możemy budować dowolnej długości n-tki uporządkowane.
Czy mają dokładnie takie same zasady jak pary odnośnie kolejności i równości? Ależ oczywiście, i wynikają one dokładnie z tego samego co wtedy.
Rzecz ósma. Iloczyn kartezjański.
Bardzo mądrze brzmi, a okazuje się bardzo łatwe. Otóż iloczynem kartezjańskim, nazwiemy pewną operację, która sprawi, że elementy naszego zbioru przestaną być same. Dokładniej rzecz ujmując, iloczyn kartezjański jest to wynik "mnożenia" dwóch, lub więcej zbiorów. "Mnożenie" to sprawia, że każdemu elementowi ze zbioru, który "mnożymy", przypisujemy każdy element ze zbioru elementu, przez który "mnożymy". Wytworem tego iloczynu, będą \(n\)-tki uporządkowane, a samo \(n\) będzie zależało od tego, ile zbiorów poddamy owemu iloczynowi. Jego oznaczenie wygląda następująco:
\(A \times B\)
Przeprowadźmy teraz przykład. Zdefiniujmy \(2\) zbiory \(A = \{1, 2, 3\}\) i \(B = \{2, 3, 4\}\). Teraz poddajmy je iloczynowi kartezjańskiemu, a więc:
\(A \times B = \{1, 2, 3\} \times \{2, 3, 4\} = \{(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)\}\)
Widzimy tu, że mimo tego, że \((2, 3)\) i \((3, 2)\) jako zbiór oznaczałyby to samo, tak teraz oznaczają zupełnie inne byty. Spróbujmy teraz dla upłynnienia zrozumienia, zrobić iloczyn 3 zbiorów. Zdefiniujmy \(A = \{1, 2\}\), \(B = \{2, 3\}\), \(C = \{3, 4\}\), a więc:
\(A \times B \times C = \{1, 2\} \times \{2, 3\} \times \{3, 4\} = \{(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 3, 4), (2, 2, 3), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 3, 4)\}\)
Dla uproszczenia liczenia, można owy iloczyn przedstawić w formie:
\(A \times (B \times C)\)
Można go tak zagnieżdżać dowolnie daleko.
Iloczyn kartezjański można oczywiście stworzyć ze zbiorem samym ze sobą i można go powtarzać dowolną ilość razy. Taki iloczyn z samym sobą, czyli:
\(A \times A\)
Oznaczamy tak, jakbyśmy podnosili zbiór do potęgi, a więc:
\(A \times A = A^2\)
I jako że można zbiory "mnożyć" ze sobą dowolną ilość razy, można uogólnić to pisząc:
\(\displaystyle\overbrace{A \times A \times A\times ... \times A}^n = A^n\)
Liczebność powstałego iloczynu.
Można zadać sobie pytanie, i przychodzi ono dosyć naturalnie, a mianowicie, jak liczny będzie zbiór powstały właśnie z takiego iloczynu kartezjańskiego?
A odpowiedź zacznie się klarować wraz z rozpisywaniem kolejnych iloczynów. Sprawdźmy jednak, jak wygląda ta liczność w ogólności.
Otóż będzie ona zależeć od dwóch rzeczy, ilości zbiorów i ich liczności.
Weźmy sobie zbiory, na przykładzie którego rozpisywaliśmy iloczyn po raz pierwszy, a mianowicie \(A = \{1, 2, 3\}\) i \(B = \{2, 3, 4\}\).Wynikiem ich "pomnożenia" był:
\(A \times B = \{(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)\}\)
Czyli każdy element ze zbioru \(A\) dostał każdy element, ze zbioru \(B\).
Czyli:
- pierwszy element, dostał \(3\) elementy i stworzył \(3\) pary,
- drugi element dostał \(3\) elementy i stworzył \(3\) par,
- trzeci element dostał \(3\) elementy i stworzył \(3\) pary
Stworzyliśmy więc \(9\) par.
Mając w głowie ten przykład, przeanalizujmy sobie jeszcze drugi, na którym opisywaliśmy iloczyn \(3\) zbiorów.
A więc mamy \(A = \{1, 2\}\), \(B = \{2, 3\}\), \(C = \{3, 4\}\), a wynikiem ich iloczynu kartezjańskiego będzie:
\(A \times B \times C = \{(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 3, 4), (2, 2, 3), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 3, 4)\}\)
Czyli każdy element ze zbioru \(A\) dostał każdy element, ze zbioru \(B\) i zbioru \(C\).
Czyli:
- pierwszy element, dostał \(2\) elementy i stworzył \(2\) pary \((1, 2), (1, 3)\)
- pary które stworzył dostały jeszcze elementy ze zbioru \(C\), więc dostały po \(2\) elementy, tworząc \(4\) trójki \((1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 3, 4)\)
- pierwszy element, dostał \(2\) elementy i stworzył \(2\) pary \((2, 2), (2, 3)\)
- pary które stworzył dostały jeszcze elementy ze zbioru \(C\), więc dostały po \(2\) elementy, tworząc \(4\) trójki \((2, 2, 3), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 3, 4)\)
Stworzyliśmy więc \(8\) trójek.
Dostrzegamy tutaj pewną zależność.
Każdy element ze zbioru, musi dostać każdy element z następnego zbioru, a jeżeli są następne to i z następnego.
Więc uogólniając, jeżeli ma my \(n\) zbiorów, to każdy element z tych \(n\) zbiorów, musi dostać po każdym elemencie z każdego zbioru.
Kontynuując więc rozumowanie z przykładów, z pierwszych dwóch zbiorów powstanie tyle par, ile wynosi iloczyn liczności tych dwóch zbiorów. Do tych par, będziemy tworzyć trójki, więc dla każdej pary dopisujemy każdy element trzeciego zbioru, mamy więc mnożenie przez liczność, tym razem trzeciego zbioru.
Teraz jeżeli chcemy tworzyć czwórki, musimy do każdej trójki dopisać po każdym elemencie z czwartego zbioru, itd, itd.
Mamy więc regułę.
Mając więc zbiory \(A_1, A_2, A_3, ...,A_n\), to liczność \(n\)-tek, które powstaną z ich iloczynu kartezjańskiego to:
\(|A_1 \times A_2 \times A_3 \times \space ... \space \times A_n| = |A_1| \cdot |A_2| \cdot |A_3|\cdot \space ... \space \cdot |A_n|\)
Mówiąc prościej, mnożymy przez siebie moce wszystkich zbiorów, które tworzą iloczyn.
Rzecz dziewiąta. Zamkniętość na działania.
Skoro mamy zbiór, to można na jego elementach definiować jakieś operacje/działania (Działanie jest pojęciem dobrze zdefiniowanym, ale na teraz przyjmijmy je na intuicję). W ogólności funkcje, ale ten termin omówimy w następnych artykułach, dlatego teraz mówić będziemy o działaniach. Weźmy np. liczby naturalne, to takim jednym z działań, będzie dodawanie, albo odejmowanie.
Gdy elementy zbioru poddajemy takim działaniom, powstają inne elementy, np. z dodawania dwóch liczb powstaje trzecia. Teraz musimy sobie odpowiedzieć na pytanie, czy wynik owego działania, pozostaje w naszym zbiorze. Jeżeli zostaje, mówimy wtedy, że zbiór jest zamknięty na jakieś działanie, np. zbiór liczb naturalnych, jest zamknięty na dodawanie, dlatego że dodając dowolne dwie liczby naturalne, powstanie nam liczba naturalna. Podobnie sytuacja ma się w mnożeniu. Nie ma znaczenia, jakie dwie liczby naturalne pomnożymy przez siebie, zawsze w wyniku otrzymamy liczbę naturalną. Jednak nie każde działanie jest takie. Weźmy np. odejmowanie. Jeżeli odejmiemy liczbę większą, np. \(10\), od mniejszej np. \(5\), to w wyniku otrzymamy liczbę ujemną, która już nie jest naturalna, jest całkowita. Podobnie sytuacja ma się z dzieleniem, jeżeli podzielimy np. liczbę \(3\) przez \(2\), to w wyniku otrzymamy \(1.5\), która to jest liczbą rzeczywistą, czyli poza zbiorem liczb naturalnych. Mówimy wtedy, zbiór nie jest zamknięty na jakieś działanie, w tym przypadku, zbiór liczb naturalnych nie jest zamknięty na dzielenie i odejmowanie.
Podsumowanie.
Na razie tyle. Jest to skrótowe przedstawienie wprowadzające do ogólnej teorii zbiorów, na tyle na ile pozwoli nam to wprowadzać kolejne pojęcia. W przyszłych artykułach zobaczycie dlaczego, dlatego warto się zapoznać z tym, co tutaj zostało zawarte. Dla ciekawych świata i chcących rzucić się od razu na głęboką wodę, zachęcam do "Teorii mnogości" Kazimierza Kuratowskiego, który da wam wszystko czego potrzebujecie.
Dziękuję za uwagę i do zobaczenia w następnych artykułach.
Komentarze