Wstęp
Ostatnio powiedzieliśmy sobie jak stwierdzić mniej więcej, równość elementów, jak podzielić je na klasy, jak je rozróżniać itd. Mając jednak relację równoważności, możemy określić jedynie przynależność, a sama relacja równoważności słusznie nasuwa nam myśl o znaku równości. Nasuwa się więc pytanie, czy oprócz równości, możemy stwierdzić, że jeden element jest większy niż drugi? Że jeden element jest wcześniej niż drugi? Na to pytanie dziś sobie odpowiemy.
Zaczynajmy więc.
Rozwinięcie
Na początku trochę studząc gorącą głowę trzeba powiedzieć, że stwierdzenie, że element jest większy od drugiego, nie zawsze można zastosować. Jest to pojęcie szczególne, które można odnieść tylko do rzeczy, które da się ze sobą porównać w sensie wielkości. Takimi obiektami są np. liczby, masy, prędkości. Można jasno określić, która jest większa od drugiej. Natomiast nie jest to takie proste, jeżeli mówimy o ogólnym przypadku, a takie teoria mnogości opisuje i definiuje. Wracamy więc do podstaw.
Pojęciem które dziś postaramy się zdefiniować oraz wyjaśnić, będzie pojęcie porządku. To pojęcie, ta konstrukcja, da nam podstawę, do późniejszego określania, które elementy, jeżeli tylko się da, można określić większymi bądź mniejszymi.
Definicja
Na początku formalnie, zacznijmy od podstawy, by później ją powoli rozwijać. Określmy relację, która spełnia \(2\) właściwości:
- jest zwrotna, czyli \(\text{gdy } aRa \text{ dla wszystkich } a\in A\),
- jest przechodnia, czyli \(\text{ jeżeli dla każdego } a, b, c \in A \text{, jeżeli } aRb \text{ oraz } bRc \text{, to } aRc\),
Nazwiemy ją wówczas relacją quasi-porządkującą bądź praporządkiem.
Niejako w opozycji do praporządku, będzie relacja ostrego porządku. Czemu ostrego? Bo zawierać będzie pary elementów tylko różnych od siebie, więc nieco zawęzi nam liczbę kombinacji.
Powiemy więc że ostry porządek będzie relacją, która jest:
Praporządek jednak, może być nieco rozwinięty. Dodając do niego pewne właściwości, możemy określić ściślejszy porządek. Takim będzie porządek częściowy bądź relacja częściowo porządkująca (również relacja porządkująca lub słaby porządek). Oprócz zwrotności oraz przechodniości, posiada ona dodatkową właściwość, którą jest:
- antysymetria, czyli\(\text{ gdy dla każdego } a, b \in A \text{, jeżeli } aRb \text{ oraz } bRa \text{, to } a= b\)
Mamy więc \(3\) relacje, które będą nam służyć w zadaniu porządkowania.
- Relację quasi-porządkującą/praporządek
- Relacja ostrego porządku/ostry porządek
- Relację częściowo porządkującą/porządek częściowy/słaby porządek
Na tej podstawie możemy zacząć mówić o jakimkolwiek porządkowaniu czegokolwiek.
Oznaczenie
Dokładnie w tym momencie, mogą się nam powrócić skojarzenia z bycia mniejszym i większym. Otóż relację, która będzie porządkować nam jakiś zbiór, będziemy oznaczać symbolem:
- \(\Large \leq\) - gdy mowa będzie o słabym porządku
- \(\Large <\) - gdy mowa będzie o ostrym porządku
Dokładnie. Jednak tak napiszemy, jeżeli będziemy wiedzieli dokładnie, lub z kontekstu będzie wynikać o jaką relację chodzi. Będąc chcieć być bardziej dokładnym, możemy napisać jeszcze ściślej, że do porządkowania będziemy używać konkretnej relacji, a jest to stosunkowo ważne. Możemy napisać więc:
\(\Large \leq_R\) oraz \(\Large <_R\)
Chcąc porównać \(2\) elementy, możemy napisać:
\(x \leq_R y\) oraz \(x <_R y\)
Właśnie. Porównać. Co to znaczy?
Porównać?
Relacje czy też porządki (te które określiliśmy na początku), są binarne z definicji. A więc jeżeli są binarne mają dwa elementy i to ich porządek określają (pary uporządkowane). Teraz pytanie brzmi, na czym będzie polegać proces porządkowania?
Otóż porządkowanie, jest to kolejność, w jakiej ustawimy sobie elementy naszego zbioru, w konstrukcji zwanej zbiorem uporządkowanym (lub częściowo uporządkowanym). Zbiór uporządkowany, to nic innego jak \(n\)-tka uporządkowana, a więc zapis będzie wyglądać następująco. Jeżeli \(A\) będzie zbiorem uporządkowanym relacją \(R\), napiszemy:
\((A, R) = (a_1, a_2, a_3, ..., a_n)\)
Wiedząc, że mowa o relacji \(R\), można zapisać, i z takim zapisem spotkasz się najczęściej, że:
\((A, \leq) = (a_1, a_2, a_3, ..., a_n)\)
Weźmy przykład. Mając zbiór \(A = \set{5, 2, 3, 1}\), zbiorem uporządkowanym relacją \(\leq\), mógłby być:
\((A, \leq) = (1, 2, 3, 5)\)
Teraz skoro mowa o kolejności, to "w kolejności" oznacza, że coś jest wcześniej, a coś jest później. I to dokładnie określa nam relacja, której użyjemy do porządkowania. Wracając do przykładu \(A = \set{5, 2, 3, 1}\), relacją która uporządkuje nam ten zbiór może być np.:
\(R=\set{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (5, 5), (1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5)}\).
Ale jak taki proces zachodzi? Otóż będzie to najprostsze sortowanie. Spróbujmy je sobie przeprowadzić.
Przykład porządku
Weźmy pierwszy element ze zbioru, czyli \(%\)\(5\) i ustawmy go na początku naszej kolejności, czyli zbioru uporządkowanego, nazwijmy go \(S\):
\((S, R) = (5)\)
Teraz weźmy następny element ze zbioru, czyli \(2\), i sprawdźmy, jak nasza relacja się do niego odnosi. Odnosi się w parach: \((2, 2), (1, 2), (2, 3), (2, 5)\). W naszej liście jest \(5\), więc porównanie będzie polegało na sprawdzeniu, czy istnieje para złożona z \(2\) i \(5\), i która z tych liczb, w parze uporządkowanej będzie poprzednikiem, a która następnikiem. W tym przypadku, \(5\) jest następnikiem, więc oznacza to, że będzie w kolejności później niż \(2\), a więc \(2\), będzie pierwsze. Nasze \(S\) wygląda więc teraz tak:
\((S, R) = (2, 5)\)
Weźmy trzeci element ze zbioru, czyli \(%\)\(3\) i sprawdźmy, jak nasza relacja się do niego odnosi. Odnosi się w parach: \((3, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 5)\). Porównanie z \(2\) odnajduje nam parę \((2, 3)\), musimy więc wstawić \(3\) za dwójkę. Jednak nie wiemy jak zachowa się ona w parze z \(5\), sprawdzamy więc dalej. Porównanie z \(5\) odnajduje nam parę \((3, 5)\), a więc określa, że \(3\) w tej parze, jest poprzednikiem, a więc w kolejności jest przed \(5\), i to wystarczy nam do zaktualizowania nam naszego \(S\), który teraz wygląda tak:
\((S, R) = (2, 3, 5)\)
Ostatnie dwa elementy pozostawiam jako ćwiczenie.
Warto jednak nadmienić jedną rzecz. Może zdarzyć się, że nie wszystkie elementy zbioru, który porządkujemy, będzie dało się porównać. Wynika to wprost z własności relacji porządkujących (jakichkolwiek).
Weźmy na warsztat jeszcze raz ten sam zbiór \(A = \set{5, 2, 3, 1}\), ale teraz, weźmy zupełnie inną relację \(R\).
Pamiętamy jakie miała mieć własności? Weźmy sobie np. praporządek. Musi być zwrotny i przechodni. Definiując relację TYLKO zwrotną, mamy również zagwarantowaną przechodniość, więc nic nie stoi na przeszkodzie, żeby zdefiniować relację \(R = \set{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (5, 5)}\). Próbują teraz przeprowadzić ten sam przykład, natkniemy się na mały problem. Otóż już na drugim elemencie, nie będzie wiadomo, gdzie umieścić element. I to będzie klucz do tego, jak powstają zbiory uporządkowane.
W takim przypadku, możemy zdefiniować sobie TYLKO zbiory uporządkowane elementów, które jesteśmy sobie w stanie porównać. Jako że elementy ze zbioru \(A\) możemy wybierać dowolnie, wybierając np. \(2\), stworzymy zbiór uporządkowany \((S, R) = (2)\). Potem wybierając np. \(3\), nie jesteśmy w stanie porównać go z dwójką, toteż nie możemy stworzyć zbioru uporządkowanego zawierającego te dwa elementy. Zauważamy że z tej relacji, którą mamy aktualnie i ze zbioru który mamy aktualnie, możemy stworzyć \(4\) zbiory uporządkowane, bo w każdym z przypadków jesteśmy w stanie porównać tylko po jednym elemencie. Jednak mając tylko jeden element teraz, nie jest to już uporządkowane \(S\), więc nasz zapis musi ulec zmianie. Mamy tutaj zbiór zbiorów uporządkowanych, a więc:
\((S, R) = \set{(5), (2), (3), (1)}\)
Stąd właśnie częściowy porządek, bo tylko część elementów jest uporządkowana. Oczywiście nic nie powstrzymuje nas przed uczynieniem tej części całością, wtedy cały zbiór będzie uporządkowany (i porządek będzie inny, ale to zaraz).
Porównać
Wracając do symbolu:
\(a \leq_R b\)
Powiemy wtedy, że \(a\) w porządku określonym przez \(R\), jest przed elementem \(b\), lub jest elementem \(b\). Zapisując:
\(a <_R b\)
Powiemy wtedy, że \(a\) w porządku określonym przez \(R\), jest przed elementem \(b\).
W tym momencie, pojawiają się \(2\) kwestie, które na tym etapie są bardzo ważne, żeby je sobie uzmysłowić. Pierwsza rzecz, to mnogość relacji porządkujących.
Otóż, mając relację, która będzie porządkować nam zbiór, nie będzie ona jedyną. Zmierzam do tego, że porządków, jakie możemy sobie wyznaczyć na zbiorze, może być naprawdę dużo, dlatego nie będzie można powiedzieć, że jakiś zbiór jest uporządkowany. Będzie można powiedzieć, że dany zbiór można uporządkować relacją \(R\) (dokładnie tak jak nazywałem to wcześniej. Spotkamy się jednak z pojęciem zbioru uporządkowanego, jeżeli kontekst będzie wskazywał na konkretną relację, która ten porządek zapewni). Druga sprawa jest taka że w porządku określamy kolejność. Określamy w naszym porównaniu, czy element w naszym porządku będzie występował przed innym, lub po innym (tak jak w przykładzie powyżej). To czy to występowanie nazwiemy sobie większością, mniejszością, czy jakimkolwiek innym pojęciem, zależy już od specyfiki danego zbioru i danego zagadnienia, do którego próbujemy dopasować sobie to jakże ogólne pojęcie porządku.
Ale czy można porównać?
Otóż nie zawsze. Porównać możemy tylko wtedy, kiedy istnieje para porządkująca elementy. Jeżeli owa istnieje, to elementy są porównywalne jeżeli nie, to są nieporównywalne. Zapiszmy to ściślej.
Mając relację \(R\), która porządkuje zbiór \(A\), jeżeli \(a, b \in A\), to jeżeli istnieje para uporządkowana \((a, b) \in R\) lub \((b, a) \in R\) to elementy są porównywalne. Można to zapisać jeszcze inaczej.
Mając relację \(\leq\) porządkującą zbiór \(A\), jeżeli \(a, b \in A\), to jeżeli zachodzi \(a \leq b\) lub \(b \leq a\), to elementy są porównywalne.
Odwracając to pojęcie, mając relację \(\leq\) porządkującą zbiór \(A\), jeżeli \(a, b \in A\), to jeżeli nie zachodzi \(a \leq b\) i \(b \leq a\), to elementy są nieporównywalne.
To samo możemy zaaplikować do relacji ostrej. Nie ma tutaj żadnej różnicy.
Zbiór w którym występowały elementy porównywalne i nieporównywalne, już spotkaliśmy w przykładzie "sortowania".
A jeżeli wszystkie da się?
Jeżeli się da, spotykamy się wtedy z pojęciem liniowego porządku (w języku angielskim total order czyli porządek całkowity, zaraz zobaczysz dlaczego).
Liniowy porządek (czasami też relacja porządkująca spójna), jak już ustaliliśmy pozwala nam porównać każdy element z każdym w zbiorze, który porządkujemy. Formalnie, porządkiem liniowym nazwiemy relację częściowo porządkującą, czy też częściowy porządek, który dodatkowo:
- jest słabo spójny (lub spójna), czyli\(\text{ jeżeli dla każdego } a, b \in A \text{, istnieje } aRb \text{ lub } bRa\)
Mając taki liniowy porządek \(R\), który porządkuje zbiór \(A\), czyli wszystkie elementy są porównywalne, taki zbiór uporządkowany nazywamy łańcuchem. Odwracając to pojęcie, jeżeli nie da się porównać żadnego z żadnym, czyli wszystkie elementy są nieporównywalne, taki zbiór nazwiemy antyłańcuchem.
Mając porządek
Pamiętamy, że porządek to kolejność. Kolejności mogą być różne, mogą być np. rosnące, bądź malejące. Mając takie przedstawienie, pomówmy o zbiorze skierowanym. Otóż zbiór skierowany to taki zbiór uporządkowany, którego wszystkie możliwe pary elementów, mają tzw. ograniczenie górne i od tego będzie zależało czy będzie skierowany. Co oznacza owe ograniczenie? Otóż będzie oznaczało to fakt, że dla każdej pary elementów, które są w porządku, zawsze możemy znaleźć trzeci element, który możemy wcisnąć pomiędzy nich. Brzmi dziwnie. Ale spróbujmy formalnie.
Otóż zbiorem skierowanym nazwiemy zbiór uporządkowany \(A\) relacją \(R\), który spełnia warunek:
- \(\text{dla każdego } a, b \in A \text{ istnieje } c \in A \text{, takie że } a \leq_R c \leq_R b\)
Sprawa jest zasadniczo prosta dla porządków słabych. Ano dlatego, że skoro relacja jest zwrotna, to istnieje niejako porównanie z samym sobą, toteż zawsze znajdziemy element pomiędzy każdą parą, a będzie to jeden z elementów tej pary (jako że definicja nie wyklucza tych samych elementów). np.: Mając zbiór uporządkowany \((A, R) = (1, 2)\), jakiejkolwiek kombinacji byśmy nie wzięli, np.: \((1, 2)\), to \(c\) możemy sobie określić jako \(1\), bo prawdą będzie \(1 \leq_R c\) oraz \(c \leq_R 2\).
Sprawa komplikuje się jednak, gdy mówimy o zbiorach uporządkowanych porządkiem ostrym. Komplikuje się dlatego, że ten porządek wyklucza równość elementów, więc jeżeli chcielibyśmy określić zbiór uporządkowany, w którym dało by się określić że jest skierowany, tj. zawsze istnieje element pomiędzy elementami, to taki zbiór musiałby być nieskończony i musiałoby się dać utworzyć taki element (np.: zbiór liczb rzeczywistych). Ale to jest jeszcze zbyt trudny temat na teraz, więc zostawiam to jako ciekawostkę.
Można spotkać się z pojęciem skierowania w górę, czy też rosnącego, lub w dół, czy też malejącego. Odnosi się to do tego, w którym "kierunku" idą elementy, a tworzy się to przez zdefiniowane relacji \(\leq\) oraz jej "odwrócenia" czyli relacji \(\geq\), czyli de facto niepotrzebnego komplikowania, bo relacja \(\geq\) jest niczym innym jak symetrycznym odbiciem relacji \(\leq\). Jest to niejako kombinacja, żeby ułatwić sobie pracę, np. na liczbach, nie mniej to pojęcie jest kompletnie zbędne i rzadko stosowane w ogólności, dlatego przestawiam je jako ciekawostkę.
Wspólne początki
Czasami zdarza się, że zbiory uporządkowane mają wspólne początki lub końce. Jednakże, żeby zrobiło się ciekawie, muszą to być zbiory spokrewnione (pojęcie luźne), tzn. jeden musi być podzbiorem drugiego. Weźmy sobie np. zbiór uporządkowany \((A, R) = (1, 2, 3, 4, 5)\) i jego podzbiór \(B = (3, 4, 5)\). W takim przypadku możemy powiedzieć, że owe \(2\) zbiory są współkońcowe. Tzn. że mają takie same ostatnie elementy. Ostatnie, czyli takie, które nie mają za sobą żadnego elementu. Formalnie, należy to opisać w ten sposób.
Mając zbiór uporządkowany \((A, R)\) oraz \(B \subseteq (A, R)\), powiemy że zbiory te są współkońcowe, jeżeli:
- \(\text{dla każdego } a \in (A, R) \text{ istnieje taki } b \in B \text{, że } a \leq_Rb\)
Czyli dla każdego \(a\) zawsze znajdzie się element \(b\), który będzie przed nim, bądź będzie nim samym.
Dokładnie w ten sam sposób definiujemy zbiory współpoczątkowe odwracając te definicję, czyli szukamy elementów, które będą za nim, lub będą nim samym.
W ten sposób zdefiniowaliśmy sobie pojęcie elementu pierwszego i ostatniego. Pierwszy będzie takim, dla którego wszystkie elementy zbioru będą za nim, bądź będą nim samym, a ostatni takim, dla którego wszystkie elementy zbioru będą przed nim, bądź będą nim samym.
Formalnie będzie to wyglądać tak.
Element \(b\) ze zbioru uporządkowanego \((A, R)\) nazwiemy pierwszym, jeżeli:
- \(\text{dla każdego } a \in (A, R)\space\space b \leq_R a\)
Idąc dalej, element \(b\) ze zbioru uporządkowanego \((A, R)\) nazwiemy ostatnim, jeżeli:
- \(\text{dla każdego } a \in (A, R)\space\space a \leq_R b\)
Dla porządku należy dodać, że w niektórych nomenklaturach, element pierwszy nazywa się najmniejszym i oznacza się go jako \(a = \min A\), bądź \(a = \min(A)\), a element ostatni nazywa się największym oznacza się go jako \(a = \max A\), bądź \(a = \max(A)\). Warto to wiedzieć, ponieważ spotkałem się z tymi pojęciami w różnych opracowaniach i być może użyjemy tego oznaczenia w przyszłości.
Maksimum i minimum
Pojęciem troszkę bardziej dokładnym w definicji od elementów pierwszych i ostatnich, będzie element maksymalny oraz minimalny. Pamiętamy, że wcześniej pierwszość i ostatniość określaliśmy porządkiem słabym. Teraz użyjemy porządku ostrego. To powiedziawszy będziemy szukać elementów, które są ostro przed wszystkimi i ostro za wszystkimi.
Formalnie rzecz biorąc powiemy tak.
Element \(b\) zbioru uporządkowanego \((A, R)\) nazwiemy minimalnym jeżeli:
- \(\text{dla każdego } a \in (A, R)\space\space b <_R a\)
Idąc dalej, element \(b\) ze zbioru uporządkowanego \((A, R)\) nazwiemy maksymalnym, jeżeli:
- \(\text{dla każdego } a \in (A, R)\space\space a <_R b\)
Widzimy, że niekiedy element maksymalny i minimalny, oraz początek i koniec oznaczać będą te same elementy. Przykładem takiego przypadku będzie zbiór uporządkowany porządkiem liniowym.
Ograniczony
Ciekawym pojęciem, o którym już nieformalnie wspomnieliśmy, będzie pojęcie ograniczenia. Co owo pojęcie znaczy? Otóż oznacza dokładnie to. Ograniczeniem górnym (majorantą) bądź ograniczeniem dolnym (minorantą) nazwiemy taki element, z nadzbioru, który wedle jakiegoś porządku, będzie przed wszystkimi elementami tego zbioru, wtedy będzie to ograniczenie dolne, bądź za wszystkimi elementami tego zbioru, wtedy będzie to ograniczenie górne.
Podejdźmy do sprawy nieco bardziej formalnie.
Zdefiniujmy sobie zbiór, np.: \(A\). Następnie zdefiniujmy sobie jego podzbiór, np.: \(B \subseteq A\). Następnie określmy jakiś porządek na naszym nadzbiorze, powiedzmy \(R\). Teraz możemy powiedzieć, że ograniczeniem górnym zbioru \(B\), wedle relacji \(R\), nazwiemy element \(a \in A\), który jest za wszystkimi elementami zbioru \(B\). Mówiąc ściślej, ograniczenie górne \(a\) zbioru \(B\), spełnia warunek:
- \(a \in A \text{, takie że wszystkich } b \in B \space \space b \leq_R a\)
Analogicznie zdefiniujemy sobie ograniczenie górne. Będzie to dokładna odwrotność tego co opisaliśmy, czyli teraz element \(a\) będzie musiał być przez wszystkimi elementami z \(B\). Mówiąc ściślej, ograniczenie dolne \(a\) zbioru \(B\), spełnia warunek:
- \(a \in A \text{, takie że wszystkich } b \in B \space \space a \leq_R b\)
Od razu zauważamy, że ograniczeń górnych oraz dolnych może być wiele. Np.: mając zbiór \(A = \set{1, 2, 3, 4, 5}\) oraz wraz z nim porządek liniowy \(R\), elementów \(a \in A\) będących ograniczeniem górnym zbioru \(B \subseteq A = \set{1, 2}\), będzie zbiór \(C = \set{3, 4, 5}\). Dokładnie w ten sam sposób możemy określić ograniczenia dolne.
Jeżeli zbiór posiada ograniczenie dolne oraz górne powiemy wtedy, że sam zbiór jest ograniczony względem jakiegoś porządku.
Jako że ograniczeń górnych oraz dolnych jest cały zbiór, oznacza to, że istnieje szansa, że taki zbiór ma element największy i najmniejszy. Jeżeli takie występują, pojawi się nam pojęcie tzw. kresu.
Dolnym kresem zbioru (infimum) nazwiemy element ostatni zbioru ograniczeń dolnych i oznaczymy go jako:
- \(\inf A\) bądź \(\inf(A)\)
Górnym kresem zbioru (supremum) nazwiemy element pierwszy zbioru ograniczeń górnych i oznaczymy go jako:
- \(\sup A\) bądź \(\sup(A)\)
Zupełny porządek
Dosyć często spotykaną w liczbach konstrukcją jest tzw. porządek zupełny. Jest często spotykany, dlatego, że jest niejako naturalny. Pytanie brzmi, co oznacza?
Otóż oznacza to, ze mając jakiś zbiór \(A\) i jakiś porządek \(R\), każdy podzbiór \(A\) posiada kres górny. Mówimy wtedy że \((A, R)\) jest uporządkowany w sposób zupełny.
Przedział
Być może pamiętacie z elementarnej matematyki pojęcie przedziału. Jeżeli tak, to szybko przebrniecie przez ten podrozdział. Jeżeli nie, nic straconego, bo temat jest śmiesznie łatwy.
Mając pojęcie porządku ostrego oraz słabego, możemy stwierdzić, że niejako mając element np.: maksymalny ma wszystkie elementy przed sobą, a więc niejako zamyka zbiór. Pytanie brzmi, czy to zamknięcie, musi być spowodowane tylko tym elementem. Nie można spróbować z każdym? Otóż można. Tak powstały przedziały.
Przedziałem nazwiemy dwa elementy, które będą ograniczać w jakiś sposób nasz zbiór uporządkowany, same pozostając w porządku. Znaczy to tyle, że będziemy szukać dwóch elementów, które będą miały jakieś elementy pomiędzy sobą. Np.: w zbiorze \(A = \set{1, 2, 3, 4, 5}\), mogą to być wedle porządku liniowego, elementy \(2\) i \(4\), albo \(1\) i \(5\) i mogą oznaczać dokładnie ten sam podzbiór elementów. Jak to możliwe? Do wzorów!
Będziemy wyróżniali dwa typy przedziałów, jeden zamknięty, w którym wykorzystamy porządek słaby, oraz otwarty, w którym wykorzystamy porządek ostry. Zacznijmy od przedziału zamkniętego.
Otóż przedziałem zamkniętym, bądź obustronnie zamkniętym/domkniętym np.: \(P\) ograniczonym elementami \(a, b \in A\) w zbiorze uporządkowanym \((A, R)\) nazwiemy zbiór elementów, który spełnia warunek:
- \(P = \set{x \text{ takich że } a \leq_R x \leq_R b}\)
i oznaczymy jak parę, tylko nawiasami kwadratowymi lub trójkątnymi:
- \([a, b]\) lub \(\langle a, b \rangle\)
W naszym przykładzie więc, przedział \([2, 4]\) oznaczać będzie zbiór \([2, 4] = \set{2, 3, 4}\)
Idąc dalej do przedziałów otwartych.
Otóż przedziałem otwartym bądź obustronnie otwartym np.: \(P\) ograniczonym elementami \(a, b \in A\) w zbiorze uporządkowanym \((A, R)\) nazwiemy zbiór elementów, który spełnia warunek:
- \(P = \set{x \text{ takich że } a <_R x <_R b}\)
i oznaczymy jak parę uporządkowaną, nawiasami okrągłymi:
- \((a, b)\)
W naszym przykładzie więc, przedział \((1, 5)\) oznaczać będzie zbiór \((1, 5) = \set{2, 3, 4}\). Teraz widzimy dlaczego napisałem, że będą oznaczać to samo. \((A, R)\)
Zwróciliście pewnie uwagę na słowo obustronny. Otóż przedział nie zawsze musi być taki. Może być z jednej strony ograniczony porządkiem ostrym, a z jednej słabym. Powiemy wtedy, że przedział jest jednostronnie otwarty lub jednostronnie zamknięty/domknięty, bardziej precyzyjnie będzie można stwierdzić, że przedział jest prawo/lewo-stronnie zamknięty/domknięty lub analogicznie otwarty. Można to oczywiście dowolnie łączyć, np.: przedział \(\langle a, b)\) nazwiemy lewostronnie zamkniętym oraz prawostronnie otwartym.
W szkolnych czasach rozważaliśmy również przedziały, które nie miały początku, np. od 1 do \(\infty\), jednak pamiętajmy, że nie operujemy tutaj w liczbach. Operujemy na elementach, w których nie ma czegoś takiego jak nieskończoność. Dlatego, żeby określić przedział, który ogranicza elementem tylko jedną stronę przedziału, należy dodać jeszcze jedno oznaczenie. Będzie to strzałka kierunku który przedział będzie obejmował. Czyli.
Jeżeli chcielibyśmy opisać przedział, które obejmuje wszystkie elementy ze zbioru \(A = \set{1, 2, 3, 4, 5}\), przed elementem \(4\) ale bez niego, napiszemy:
- \((\leftarrow, 4) = \set{1, 2, 3}\)
Analogicznie od elementu \(4\), ale tym razem z nim włącznie:
- \(\langle4, \rightarrow) = \set{4, 5}\)
Powiemy w takim przypadku że przedział, jest lewo/prawo-stronnie nieogarniczony. Domknięcie w przypadku strzałki musi być otwarte, ponieważ nie wskazuje ono na żaden konkretny element, stąd jego zawarcie bądź nie jest problematyczne w określeniu.Ciekawostką jest fakt, że przedział \((\leftarrow, \rightarrow)\) oznacza cały zbiór, na którym jest określony.
Zakończenie
Coraz bliżej nam do rzeczy praktycznych. Mamy już zbiory, wiemy jak sprawdzać równość ich elementów, teraz możemy już ustawiać je w kolejności. Porównanie daje nam cudowne narzędzie, które powoli będzie rysować nam na horyzoncie jak skomplikowany aparat musi zostać utworzony, by mówić o czymś tak z pozoru trywialnym jak liczba.
Mówiąc to, dziękuję za uwagę i zapraszam do kolejnych artykułów.
Komentarze